拋物線所有公式總結(jié)是什么？

拋物線所有公式總結(jié)是如下：

一般式：ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0）。

頂點式：y=a(X-h）2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0）。

交點式（兩根式）：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。

其中拋物線y=aX2+bX+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0）與x軸交點坐標，即方程aX2+bX+c=0的兩實數(shù)根。

拋物線標準方程：

右開口拋物線：y^2=2px。

左開口拋物線：y^2= -2px。

上開口拋物線：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）。

下開口拋物線：x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）。

[p為焦準距（p0）］。

樂樂課堂拋物線的定義

拋物線是指平面內(nèi)到一個定點F（焦點）和一條定直線l（準線）距離相等的點的軌跡。它有許多表示方法，例如參數(shù)表示，標準方程表示等等。

它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。 拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。

垂直于準線并通過焦點的線（即通過中間分解拋物線的線）被稱為“對稱軸”。與對稱軸相交的拋物線上的點被稱為“頂點”，并且是拋物線最鋒利彎曲的點。沿著對稱軸測量的頂點和焦點之間的距離是“焦距”。

“直線”是拋物線的平行線，并通過焦點。拋物線可以向上，向下，向左，向右或向另一個任意方向打開。任何拋物線都可以重新定位并重新定位，以適應(yīng)任何其他拋物線 - 也就是說，所有拋物線都是幾何相似的。

性質(zhì)

拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

什么是拋物線

拋物線方程是指拋物線的軌跡方程，是一種用方程來表示拋物線的方法[1]。在幾何平面上可以根據(jù)拋物線的方程畫出拋物線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。

中文名

拋物線方程

外文名

parabolic equation

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

適用領(lǐng)域范圍

數(shù)學(xué)、物理、建筑學(xué)等

解釋

指拋物線的軌跡方程

定義

拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F 和一條直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F 叫做拋物線的焦點，直線l 叫做拋物線的準線，定點F不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e=1時為拋物線，當0e1時為橢圓，當e1時為雙曲線[2] 。

方程

拋物線的標準方程有四種形式，參數(shù)p的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)（如下表）：其中P(x0,y0)為拋物線上任一點[3] 。

標準方程

y^2=2px（p0）

y^2=-2px（p0）

x^2=2py（p0）

x^2=-2py（p0）

圖形

范圍

x≥0，y R

x≤0，y R

y≥0，x R

y≤0，x R

展開全部

對于拋物線y^2=2px(p≠0)上的點的坐標可設(shè)為( ,y0)，以簡化運算。

拋物線的焦點弦：設(shè)過拋物線y^2=2px(p0)的焦點F的直線與拋物線交于A（x1，y1）、B（x2，y2），直線OA與OB的斜率分別為k1,k2，直線l的傾斜角為α，則有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|OA|= ,|OB|= ,|AB|=x1+x2+p。

幾何性質(zhì)

方程的具體表達式為y=ax^2+bx+c

⑴a 0

⑵a0，則拋物線開口朝上；a0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點（頂點）：（ ， ）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ0，圖象與x軸交于兩點：

（ ，0）和（ ，0）；

Δ=0，圖象與x軸交于一點：

（ ，0）；

Δ0，圖象與x軸無交點；

(5)對稱軸(頂點)在y 軸 左側(cè)時 , a ,b 同號 ,對稱軸 (頂點 ) 在 y 軸右側(cè)時,a 、b 異號；對稱軸(頂點)在y軸上時, b=0，拋物線的頂點在原點時, b=c=0。

(6)當x=0時，可通過與y軸交點判斷c值，即若拋物線交y軸為正半軸，則c0；若拋物線交y軸為負半軸，則c0[4] 。

拋物線方程

拋物線標準方程是：y2=2px（p0）；y2=-2px（p0）；x2=2py（p0）；x2=-2py（p0）。

它在幾何光學(xué)和力學(xué)中有重要的用處。 拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數(shù)圖像。

拋物線的幾何性質(zhì)：

1、設(shè)拋物線上一點P的切線與準線相交于Q，F(xiàn)是拋物線的焦點，則PF⊥QF。且過P作PA垂直于準線，垂足為A，那么PQ平分∠APF。

2、過拋物線上一點P作準線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切于P?！礊樾再|(zhì)（1）第二部分的逆定理〉從這條性質(zhì)可以得出過拋物線上一點P作拋物線的切線的尺規(guī)作圖方法。

3、設(shè)拋物線上一點P（P不是頂點）的切線與法線分別交軸于A、B，則F為AB中點。這個性質(zhì)可以推出拋物線的光學(xué)性質(zhì)，即經(jīng)焦點的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸。

拋物線標準方程式

希望這些能幫助你學(xué)習(xí) 1．理解障礙 (1)對拋物線定義的理解 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．拋物線的定義可以從以下幾個方面理解、掌握： (i)拋物線的定義還可敘述為：“平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離的比等于1的點的軌跡叫做拋物線．”這樣與橢圓、雙曲線有統(tǒng)一的第二定義． (ii)定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”，一個動點，設(shè)為M；一個定點F，叫做拋物線的焦點；一條定直線l，叫做拋物線的準線；一個定值，即點M與點F的距離和它到直線l的距離之比等于1． (iii)定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．如，到點F(1，0)和到l：x＋y－1＝0的距離相等的點的軌跡方程為x－y－1＝0，軌跡是一條直線． (2)對拋物線標準方程的理解 拋物線標準方程的特點在于：等號一邊是某變元的完全平方，等號另一邊是另一變元的一次項，這種形式和它的位置特征相對應(yīng)．若對稱軸為x軸，方程中的一次項就是x的一次項，且符號指出了拋物線的開口方向，即：開口向右時，該項取正號；開口向左時，該項取負號． 若對稱軸為y軸，則方程中的一次項就是y的一次項，且符號指示了拋物線的開口方向，即：開口向上時，該項取正號；開口向下時，該項取負號． 2．解題障礙 (1)對拋物線定義應(yīng)用不夠靈活 拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價性，故二者可以相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化在解題中有著重要作用． (2)對標準方程的應(yīng)用不準確 由于拋物線標準方程有四種，在應(yīng)用時易混淆．故需加強對標準方程的感性認識，記準標準方程與拋物線之間的對應(yīng)關(guān)系． 【學(xué)習(xí)策略】 1．定義的應(yīng)用 由于當定點在定直線上時，到定點距離等于到定直線距離的點的軌跡為一條直線而不是拋物線，故利用定義判斷軌跡時應(yīng)先驗證定點是否在定直線上． 定義在拋物線題目中有著廣泛的應(yīng)用，要注意定義的轉(zhuǎn)化作用的應(yīng)用． 2．待定系數(shù)法 盡管拋物線標準方程有四種，但方程中都只有一個待定系數(shù)，一是利用好參數(shù)p的幾何意義，二是給拋物線定好位，即求拋物線方程也遵循先定位，后定量的原則． 3．統(tǒng)一方程 對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設(shè)來定，即不必事先限定a的正負，也就是說，不必設(shè)為y2＝2px或y2＝－2px(p0)，這樣能減少計算量．同理，焦點在y軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設(shè)為x2＝ay(a≠0)． 【例題分析】 〔例1〕求適合下列條件的拋物線的標準方程： (1)過點(－3，2)； (2)焦點在直線x－2y－4＝0上． 策略：根據(jù)已知條件求出拋物線的標準方程中的p即可，注意標準方程的形式． 解：(1)設(shè)拋物線方程為y2＝－2px或x2＝2py(y0)，將點(－3，2)代入方程得2p＝ 或2p＝ ， ∴所求拋物線方程為y2＝－ x或x2＝ y． (2)令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2． ∴拋物線的焦點為F(0，－2)． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，則由 ＝2，得2p＝8， ∴所求的拋物線方程為x2＝－8y． 或令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，∴拋物線焦點為F(4，0)． 設(shè)拋物線方程為y2＝2px，由 ＝4得p＝8．則所求方程為y2＝16x． 總之，所求拋物線方程為x2＝－8y或y2＝16x． 評注：此兩小題都有兩解，注意不要丟解．做題前可先畫草圖，全面考查已知條件．本題都采用了待定系數(shù)法求解，要注意解題方法和技巧．

什么是標準拋物線

拋物線及標準方程

年級__________ 班級_________ 學(xué)號_________ 姓名__________ 分數(shù)____

總分

一

二

三

一,選擇題(共48題,題分合計240分)

1.橢圓與拋物線y2=6x-9的公共點的個數(shù)是

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

2.經(jīng)過點P(4,-2)的拋物線標準方程為

A.或 B.或 C. D.

3.拋物線x2=4a y的準線方程為

A. x= -a B. x=a C. y= -a D. y=a

4.焦點在直線3x - 4y -12=0上的拋物線標準方程為

A.或 B.或

C.或 D.或

5.已知動點M的坐標滿足方程,則動點M的軌跡是

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對

6.拋物線y2= -4 px (p0)的焦點為F,準線為l,則p表示

A.F到l的距離 B.F到y(tǒng)軸的距離 C.F點的橫坐標 D.F到l的距離的

7.拋物線(a≠0)的焦點坐標是

A.(0,)或(0,-) B.(0,) C.(0,)或(0,-) D.(0,)

8.焦點是(-5,0)的拋物線標準方程是

A. B. C. D.

9.已知拋物線的方程為標準方程,焦點在x軸上,其上點P(-3,m)到焦點距離為5,則拋物線方程為

A.y2=8 x B.y2= -8 x C.y2=4 x D.y2=-4 x

10.拋物線y2=4 x上一點P到焦點F的距離是10,則P點的坐標是

A.(±6,9) B.(9,±6) C.(9,6) D.(6,9)

11.拋物線y2=9x與直線2x-3y-8=0交于M N兩點,線段MN中點坐標為

A.() B.() C.() D.()

12.動點P到點A(0,2)的距離比到直線l:y=-4的距離小2,則動點P的軌跡方程為

A.y2=4 x B.y2=8 x C.x2=4 y D.x2=8 y

13.已知直線l與拋物線y2=8 x 交于A,B兩點,且l經(jīng)過拋物線的焦點F,A點的坐標為(8,8),則線段AB的中點到準線的距離是

A. B. C. D.25

14.已知拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上,則此拋物線的標準方程是

A. y2=16 x B. x2= -8 y C. y2=8 x或x2= -8 y D. y2=8 x或x2= 8 y

15.直線y=kx-2與拋物線y2=8 x 交于A,B兩點,且AB的中點橫坐標為2,則k的值是

A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是

16.動圓M經(jīng)過點A(3,0)且與直線l:x=-3相切,則動圓圓心M的軌跡方程是

A.y2=12 x B.y2=6 x C.y2=3 x D.y2=24 x

17.頂點在原點,坐標軸為對稱軸的拋物線,過點(-2,3),則它的方程是

A.或 B.或 C. D.

18.以x軸為對稱軸,拋物線通徑的長為8,頂點在坐標原點的拋物線的方程是

A.y2=8 x B.y2= -8 x C.y2=8 x或y2= -8 x D.x2=8 y或x2= -8 y

19.拋物線x2=-4y的通徑為AB,O為拋物線的頂點,則

A.通徑長為8,△AOB的面積為4 B.通徑長為-4,△AOB的面積為2

C.通徑長為4,△AOB的面積為4 D.通徑長為4,△AOB的面積為2

20.已知直線y=kx-k及拋物線y2=2px(p0),則

A.直線與拋物線有一個公共點 B.直線與拋物線有兩個公共點

C.直線與拋物線有一個或兩個公共點 D.直線與拋物線可能沒有公共點

21.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則△AOB的面積是

A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2

22.邊長為1的等邊三角形AOB,O為原點,AB⊥x軸,以O(shè)為頂點且過A,B的拋物線方程是

A. B. C. D.

23.已知點(x,y)在拋物線y2=4x上,則的最的小值是

A.2 B.3 C.4 D.0

24.拋物線頂點在坐標原點,以坐標軸為對稱軸,過焦點且與y軸垂直的弦長為16,則拋物線方程為

A. B. C. D.

25.若拋物線y2=2px(p0)上橫坐標為6的點到焦點的距離為8,則焦點到準線的距離為

A.1 B.2 C.4 D.6

26.若點A的坐標為(3,2),F為拋物線y2=2x的焦點,點P是拋物線上一動點,則取得最小值時點P的坐標是

A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D.(,1)

27.頂點在點(1,3),焦點與頂點的距離為,準線平行于y軸,開口向右的拋物線的方程是

A.y-3=(x-1)2 B.(x-1)2=(y-3) C.(y-3)2=(x-1) D.x-1=(y-3)2

28.如果拋物線y2-mx-2y+4m+1=0的準線與雙曲線x2-3y2=12的左準線重合,則m的值為

A.28 B.14 C.-2 D.4

29.拋物線y=4ax2(a0)的焦點坐標是

A.(,0) B.(0,) C.(0,-) D.(,0)

30.拋物線y=2x的焦點坐標是

A.(1,0) B.() C.(0,) D.(0,)

31.如果拋物線的頂點在原點,對稱軸為x軸,焦點在直線3x-4y-12=0上,則拋物線方程是

A.y B.y C.y D.y

32.焦點在(-1,0),頂點在(1,0)的拋物線方程是

A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1) C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1)

33.一動圓與兩圓:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡為

A.拋物線 B.圓 C.雙曲線的一支 D.橢圓

34.動點P到直線x+4=0的距離減去它到M(2,0)的距離之差等于2,則點P的軌跡是

A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

35.如果拋物線y2= a (x-2)的焦點坐標是(-1,0),則它的準線方程是

A. x =1 B. x =5 C. y= x D. x =3

36.拋物線頂點在原點,焦點在y軸上,其上一點P(m,1)到焦點距離為5,則拋物線方程為:

A. x2=8y B. x2= -8y C. x2=16y D. x2= -16y

37.已知拋物線的焦點坐標是(2,0),則拋物線的標準方程是

A. B. C. D.

38.已知拋物線的準線方程是x=-7,則拋物線的標準方程是

A. B. C. D.

39.已知拋物線的準線方程是y=-7,則拋物線的標準方程是

A. B. C. D.

40.已知拋物線的焦點坐標是(0,-3),則拋物線的標準方程是

A. B. C. D.

41.已知拋物線的軸為x軸,頂點在原點,焦點在直線2x-4y+11=0上,則此拋物線的方程是

A. y2= -11x B.y2= 11x C.y2= -22x D.y2= 22x

42.拋物線y=8mx2(m0)有一內(nèi)接直角三角形,直角的頂點在原點,一直角邊的方程是y = 2x,斜邊長是5,求此拋物線方程.

8.若拋物線的焦點為(2,2),準線方程為x+y-1=0,求此拋物線的方程.

9.已知拋物線的焦點坐標是(-),準線方程是,求拋物線的方程.

10.求以坐標原點為焦點,以直線x+y-1=0為準線的拋物線方程.

11.若拋物線y2=2px(p0)上一點P到準線及對稱軸的距離分別為10和6,求P的橫坐標及拋物線方程.

12.過定點A(-2,-1)傾斜角為45°的直線與拋物線y=ax2交于B C,且|BC|是|AB| |AC|的等比中項,求拋物線方程.

13.過定點A(-2,-1)作傾斜角為45°的直線與拋物線y=ax2交于B,C兩點,且|BC|是|AB|,|AC|的等比中項,求拋物線方程.

14.一拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,而且拋物線上一點(a,-3)到焦點的距離等于5,求此拋物線的標準方程和a的值.

15.指出拋物線的焦點坐標 準線方程.

(1)x2=4y (2)x=ay2(a≠0)

16.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩點,且AB中點的橫坐標為2,求此直線方程.

17.求證:以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準線相切.

18.(1)設(shè)拋物線y2=4x被直線y=2x+k截得的弦長為3,求k值.

(2)以(1)中的弦為底邊,以x軸上的點P為頂點作三角形,當三角形的面積為9時,求P點坐標.

19.已知定直線l及定點A(A不在l上),n為過A且垂直于l的直線,設(shè)N為l上任一點,AN的垂直平分線交n于B,點B關(guān)于AN的對稱點為P,求證P的軌跡為拋物線.

20.求頂點在原點,焦點在坐標軸上,過點(2,-8)的拋物線方程,并指出焦點和準線.

21.拋物線y2=4x上有兩定點A,B分別在對稱軸的上,下兩側(cè),F,O分別為拋物線的焦點和頂點且|AF | =2,|BF | =5,在拋物線的AOB部分上求一點P,使△ABP的面積最大,并求最大面積.

22.

23.如圖所示,直線l1和l2相交于點M,l1⊥l2,點N∈l1,以A,B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等,若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6,建立適當?shù)淖鴺讼?求曲線段C的方程.

拋物線及標準方程答案

一,選擇題(共48題,合計240分)

1.5361答案:B

2.6854答案:A

3.6855答案:C

4.6856答案:C

5.6857答案:C

6.6858答案:B

7.6859答案:B

8.6862答案:A

9.6863答案:B

10.6864答案:B

11.6865答案:B

12.6866答案:D

13.6867答案:A

14.6868答案:C

15.6869答案:B

16.6870答案:A

17.6872答案:B

18.6873答案:C

19.6874答案:D

20.6875答案:C

21.6876答案:B

22.6877答案:C

23.6878答案:A

24.6879答案:C

25.6880答案:C

26.6881答案:C

27.5365答案:D

28.5366答案:A

29.6539答案:B

30.6607答案:D

31.6609答案:C

32.6617答案:D

33.6620答案:C

34.6621答案:D

35.6747答案:B

36.6771答案:C

37.6850答案:D

38.6851答案:B

39.6852答案:C

40.6853答案:A

41.6884答案:C

42.6885答案:B

43.6887答案:C

44.6888答案:B

45.6889答案:A

46.6890答案:A

47.6891答案:A

48.6763答案:D

二,填空題(共3題,合計12分)

1.6569答案:

2.6630答案:(0,0)

3.6765答案:③

三,解答題(共23題,合計181分)

1.6871答案:y2=12x或y2=-4x

2.6832答案:(1)準線方程是y=-1.

(2)拋物線的標準方程是y2= -12x.

3.6833答案:點M的軌跡是以(1,1)為焦點,直線x+y+6=0為準線的拋物線

4.6834答案:為所求拋物線的方程.

5.6835答案:點M的軌跡方程x2= -8y.

6.6836答案:拋物線方程為.

a=±4.

7.6837答案:所求的拋物線方程為.

8.6847答案:見注釋

9.6860答案:y=ax2+bx+c

10.6861答案:x2-2xy+y2+2x+2y-1=0

11.6882答案:9,y2=4x.或1,y2=36x

12.6883答案:y=x2

13.6828答案:拋物線方程為y=x2.

14.6829答案:所求拋物線方程為x2=-8y.

15.6910答案:(1)準線方程是:y=-1

(2)①當a0時,準線方程是:x=-

②當a0).

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