正態(tài)分布函數公式是什么樣子的？

標準正態(tài)分布函數公式如下圖：

標準正態(tài)分布函數的性質：

1、密度函數關于平均值對稱。

2、函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差范圍內。

3、函數曲線的反曲點為離平均數一個標準差距離的位置。

4、平均值與它的眾數以及中位數同一數值。5、95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差的范圍內。

標準正態(tài)分布是以0為均數，以1為標準差的正態(tài)分布，記為N（0，1）。標準正態(tài)分布在數學、物理及工程等領域都非常重要，在統(tǒng)計學的許多方面也有著重大的影響力。

正態(tài)分布也稱為高斯分布?？陀^世界中很多變量都服從或近似服從正態(tài)分布，且正態(tài)分布具有很好的數學性質，所以正態(tài)分布也是人們研究最多的分布之一。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，記為N(μ，σ2)。其概率密度函數為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ=0,σ=1時的正態(tài)分布是標準正態(tài)分布。

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正態(tài)分布通俗易懂的意思

正態(tài)分布的通俗概念：如果把數值變量資料編制頻數表后繪制頻數分布圖（又稱直方圖，它用矩形面積表示數值變量資料的頻數分布，每條直條的寬表示組距，直條的面積表示頻數（或頻率）大小，直條與直條之間不留空隙。），

若頻數分布呈現中間為最多，左右兩側基本對稱，越靠近中間頻數越多，離中間越遠，頻數越少，形成一個中間頻數多，兩側頻數逐漸減少且基本對稱的分布，那一般認為該數值變量服從或近似服從數學上的正態(tài)分布。

擴展資料：

定理

由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關于y軸對稱，對于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。只要會用它求正態(tài)總體在某個特定區(qū)間的概率即可。

為了便于描述和應用，常將正態(tài)變量作數據轉換。將一般正態(tài)分布轉化成標準正態(tài)分布。若

服從標準正態(tài)分布,通過查標準正態(tài)分布表就可以直接計算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標準化變換。（標準正態(tài)分布表：標準正態(tài)分布表中列出了標準正態(tài)曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

參考資料：百度百科-正態(tài)分布

什么是正態(tài)分布

標準正態(tài)分布密度函數公式：

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態(tài)分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態(tài)分布是標準正態(tài)分布。

圖形特征：

集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數所在的位置。

對稱性：正態(tài)曲線以均數為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。

均勻變動性：正態(tài)曲線由均數所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降。

曲線與橫軸間的面積總等于1，相當于概率密度函數的函數從正無窮到負無窮積分的概率為1。即頻率的總和為100%。

擴展資料：

由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關于y軸對稱，對于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。只要會用它求正態(tài)總體在某個特定區(qū)間的概率即可。

為了便于描述和應用，常將正態(tài)變量作數據轉換。將一般正態(tài)分布轉化成標準正態(tài)分布。

若?服從標準正態(tài)分布,通過查標準正態(tài)分布表就可以直接計算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標準化變換。

（標準正態(tài)分布表：標準正態(tài)分布表中列出了標準正態(tài)曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

面積分布

1、實際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數占總例數的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同 范圍內正態(tài)曲線下的面積可用公式計算。

2、正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間（μ-σ,μ+σ）內的面積為68.268949%。

P{|X-μ|σ}=2Φ（1）-1=0.6826

橫軸區(qū)間（μ-1.96σ,μ+1.96σ）內的面積為95.449974%。

P{|X-μ|2σ}=2Φ（2）-1=0.9544

橫軸區(qū)間（μ-2.58σ,μ+2.58σ）內的面積為99.730020%。

P{|X-μ|3σ}=2Φ（3）-1=0.9974

參考資料：百度百科——正態(tài)分布

高中數學必修三正態(tài)分布知識點

正態(tài)分布為高中數學必修三課本的新增內容之一，有哪些知識點需要我們學習呢?下面是我給大家?guī)淼母咧袛祵W正態(tài)分布知識點，希望對你有幫助。

高中數學必修三正態(tài)分布知識點

正態(tài)分布的定義：

如果隨機變量ξ的總體密度曲線是由或近似地由下面的函數給定：

x∈R，則稱ξ服從正態(tài)分布，這時的總體分布叫正態(tài)分布，其中μ表示總體平均數，σ叫標準差，正態(tài)分布常用

來表示。

當μ=0，σ=1時，稱ξ服從標準正態(tài)分布，這時的總體叫標準正態(tài)總體。

叫標準正態(tài)曲線。正態(tài)曲線

x∈R的有關性質：

(1)曲線在x軸上方，與x軸永不相交;

(2)曲線關于直線x=μ對稱，且在x=μ兩旁延伸時無限接近x軸;

(3)曲線在x=μ處達到最高點;

(4)當μ一定時，曲線形狀由σ的大小來決定，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布比較離散，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體分布比較集中。

在標準正態(tài)總體N(0，1)中：

高中數學必修三二項分布知識點

二項分布：

一般地，在n次獨立重復的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則

k=0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p)，并記

獨立重復試驗：

(1)獨立重復試驗的意義：做n次試驗，如果它們是完全同樣的一個試驗的重復，且它們相互獨立，那么這類試驗叫做獨立重復試驗.

(2)一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數為X，在每件試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為

此時稱隨機變量X服從二項分布，記作

并稱p為成功概率.

(3)獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的.

(4)獨立重復試驗概率公式的特點：

是n次獨立重復試驗中某 事件A恰好發(fā)生k次的概率.其中，n是重復試驗的次數，p是一次試驗中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生的次數，需要弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運用公式.

二項分布的判斷與應用：

(1)二項分布，實際是對n次獨立重復試驗從概率分布的角度作出的闡述，判斷二項分布，關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復試驗，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足這兩個條件，隨機變量就不服從二項分布.

(2)當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果時，我們可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.

求獨立重復試驗的概率：

(1)在n次獨立重復試驗中，“在相同條件下”等價于各次試驗的結果不會受其他試驗的影響，即

2，…，n)是第i次試驗的結果.

(2)獨立重復試驗是相互獨立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，要弄清n，p，k的意義。

求二項分布：

二項分布是概率分布的一種，與獨立重復試驗密切相關，解題時要注意結合二項式定理與組合數等性質。

高中數學必修三超幾何分布知識點

超幾何分布：

一般地，設有N件產品，其中有M(M≤N)件次品，從中任取n(n≤N)件產品，用X表示取出的n件產品的件數，那么

(其中k為非負整數)，如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數為N，M，n的超幾何分布。

為超幾何分布列，如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布。

超幾何分布列特別提醒：

①超幾何分布列給出了求解這類問題的方法，可以通過直接運用公式求解.但不能機械地去記憶公式，要在理解的前提下記憶。

②在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據公式，求出X取不同k值時的概率P(X=k)，從而列出X的分布列.

求超幾何分布的分布列：

正態(tài)分布的公式及含義

正態(tài)分布

normal distribution

一種概率分布。正態(tài)分布是具有兩個參數μ和σ2的連續(xù)型隨機變量的分布，第一參數μ是服從正態(tài)分布的隨機變量的均值，第二個參數σ2是此隨機變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(μ，σ2 )。 服從正態(tài)分布的隨機變量的概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數的特點是：關于μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。當μ＝0，σ2 ＝1時，稱為標準正態(tài)分布，記為N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的概率規(guī)律時，稱此隨機向量遵從多維正態(tài)分布。多元正態(tài)分布有很好的性質，例如，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態(tài)分布，特別它的線性組合為一元正態(tài)分布。

正態(tài)分布最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。

生產與科學實驗中很多隨機變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那么就可以認為這個量具有正態(tài)分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質 ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導出的，例如對數正態(tài)分布、t分布、F分布等。

正態(tài)分布應用最廣泛的連續(xù)概率分布，其特征是“鐘”形曲線。

from

(一)正態(tài)分布

1.正態(tài)分布

若 的密度函數（頻率曲線）為正態(tài)函數（曲線）

(3-1)

則稱 服從正態(tài)分布，記號 ～ 。其中 、 是兩個不確定常數，是正態(tài)分布的參數，不同的 、不同的 對應不同的正態(tài)分布。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。

2．正態(tài)分布的特征

服從正態(tài)分布的變量的頻數分布由 、 完全決定。

(1) 是正態(tài)分布的位置參數，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以 為對稱軸，左右完全對稱。正態(tài)分布的均數、中位數、眾數相同，均等于 。

(2) 描述正態(tài)分布資料數據分布的離散程度， 越大，數據分布越分散， 越小，數據分布越集中。 也稱為是正態(tài)分布的形狀參數， 越大，曲線越扁平，反之， 越小，曲線越瘦高。

(二)標準正態(tài)分布

1．標準正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標準正態(tài)分布的μ和σ2為0和1，通常用 （或Z）表示服從標準正態(tài)分布的變量，記為 Z～N（0，1）。

2．標準化變換：此變換有特性：若原分布服從正態(tài)分布 ，則Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服從標準正態(tài)分布,通過查標準正態(tài)分布表就可以直接計算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標準化變換。

3. 標準正態(tài)分布表

標準正態(tài)分布表中列出了標準正態(tài)曲線下從-∞到X(當前值）范圍內的面積比例 。

（三）正態(tài)曲線下面積分布

1．實際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數占總例數的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同 范圍內正態(tài)曲線下的面積可用公式3-2計算。

（3-2）

。

2.幾個重要的面積比例

軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間（μ-σ，μ+σ）內的面積為68.27%，橫軸區(qū)間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）內的面積為95.00%，橫軸區(qū)間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）內的面積為99.00%。

（四）正態(tài)分布的應用

某些醫(yī)學現象，如同質群體的身高、紅細胞數、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機誤差，呈現為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經數據轉換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經對數轉換后服從正態(tài)分布的指標，被稱為服從對數正態(tài)分布。

1. 估計頻數分布 一個服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數與標準差就可根據公式（3-2）估計任意取值 范圍內頻數比例。

2. 制定參考值范圍

（1）正態(tài)分布法 適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標以及可以通過轉換后服從正態(tài)分布的指標。

（2）百分位數法 常用于偏態(tài)分布的指標。表3-1中兩種方法的單雙側界值都應熟練掌握。

表3-1 常用參考值范圍的制定

概率

（%） 正態(tài)分布法 百分位數法

雙側 單 側 雙側 單側

下 限 上 限 下 限 上 限

90

95

99

3. 質量控制：為了控制實驗中的測量（或實驗）誤差，常以 作為上、下警戒值，以 作為上、下控制值。這樣做的依據是：正常情況下測量（或實驗）誤差服從正態(tài)分布。

4. 正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎。 檢驗、方差分析、相關和回歸分析等多種統(tǒng)計方法均要求分析的指標服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計方法雖然不要求分析指標服從正態(tài)分布，但相應的統(tǒng)計量在大樣本時近似正態(tài)分布，因而大樣本時這些統(tǒng)計推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎的。

from

一、正態(tài)分布的概念

由表1.1的頻數表資料所繪制的直方圖，圖3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右兩側大致對稱。我們設想，如果觀察例數逐漸增多，組段不斷分細，直方圖頂端的連線就會逐漸形成一條高峰位于中央（均數所在處），兩側逐漸降低且左右對稱，不與橫軸相交的光滑曲線圖3.1（3）。這條曲線稱為頻數曲線或頻率曲線，近似于數學上的正態(tài)分布（normal distribution）。由于頻率的總和為100%或1，故該曲線下橫軸上的面積為100%或1。

圖3.1頻數分布逐漸接近正態(tài)分布示意圖

為了應用方便，常對正態(tài)分布變量X作變量變換。

（3.1）

該變換使原來的正態(tài)分布轉化為標準正態(tài)分布 (standard normal distribution)，亦稱u分布。u被稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差（standard normal deviate）。

二、正態(tài)分布的特征：

1．正態(tài)曲線（normal curve）在橫軸上方均數處最高。

2．正態(tài)分布以均數為中心，左右對稱。

3．正態(tài)分布有兩個參數，即均數和標準差。是位置參數，當固定不變時，越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸越向左移動。是形狀參數，當固定不變時，越大，曲線越平闊；越小，曲線越尖峭。通常用表示均數為，方差為的正態(tài)分布。用N（0，1）表示標準正態(tài)分布。

4．正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。

實際工作中，常需要了解正態(tài)曲線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總面積的百分數，以便估計該區(qū)間的例數占總例數的百分數（頻數分布）或觀察值落在該區(qū)間的概率。正態(tài)曲線下一定區(qū)間的面積可以通過附表1求得。對于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料，已知均數和標準差，就可對其頻數分布作出概約估計。

查附表1應注意：①表中曲線下面積為-∞到u的左側累計面積；②當已知μ、σ和X時先按式（3.1）求得u值，再查表，當μ、σ未知且樣本含量n足夠大時，可用樣本均數和標準差S分別代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲線下對稱于0的區(qū)間面積相等，如區(qū)間（-∞，-1.96）與區(qū)間（1.96，∞）的面積相等，④曲線下橫軸上的總面積為100%或1。

正態(tài)分布曲線下有三個區(qū)間的面積應用較多，應熟記：①標準正態(tài)分布時區(qū)間（-1,1）或正態(tài)分布時區(qū)間（μ-1σ,μ+1σ）的面積占總面積的68.27%；②標準正態(tài)分布時區(qū)間（-1.96,1.96）或正態(tài)分布區(qū)間（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面積占總面積的95%；③標準正態(tài)分布時區(qū)間（-2.58,2.58）或正態(tài)分布時區(qū)間（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面積占總面積的99%。如圖3.2所示。（μ-3σ）的面積比例為99.74%,(μ-2σ)面積比例為95.44%。